Corso di laurea magistrale in Chimica Industriale

Matematica (Nuovo Ordinamento D.M. 270)

Anno accademico 2010/2011

Sommario insegnamento

• Risultati dell'apprendimento attesi
• Programma
• Testi consigliati e bibliografia
• Note
• Strumenti didattici
• Scheda del corso

Risultati dell'apprendimento attesi

Lo scopo principale del corso consiste nel mettere lo studente in condizioni di comprendere la struttura matematica dei problemi che incontrerà nei corsi successivi e di utilizzare alcuni semplici strumenti matematici per il loro studio.

Programma

1.   Vettori nel piano e nello spazio. Definizione di vettore e proprietà dei vettori. Operazioni coi vettori.  Prodotto scalare, vettoriale e misto. Rette e piani nello spazio tridimensionale. Equazione della retta in forma parametrica vettoriale, parametrica scalare, cartesiana. Equazione del piano in forma parametrica vettoriale, parametrica scalare, vettoriale, cartesiana, segmentaria.

2.   Funzioni di una variabile. Definizione di funzione e grafici. Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche, composte, inverse. Limiti al finito e all'infinito, continuità, asintoti. Proprietà delle funzioni continue. Teoremi sui limiti. Algebra dei limiti. Infinitesimi ed infiniti. Limiti notevoli. Limiti di polinomi, di funzioni razionali e irrazionali.

3.   Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Definizione di derivata e significato geometrico.  Derivata di una funzione, punti angolosi e cuspidi, derivate d’ordine superiore. Regole di calcolo differenziale. Forme indeterminate e regola di dell’Hopital. Approssimazione lineare e differenziale. Massimi e minimi. Teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili: Fermat, Rolle, Lagrange.  Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Determinazione del grafico di una funzione.

4.   Funzioni reali di due variabili. Definizione, dominio di definizione e curve di livello. Rappresentazione grafica. Limiti e continuità. Derivate parziali, gradiente, derivata direzionale. Piano tangente ad una superficie. Derivate del 2° ordine. Teorema di Schwartz.  Matrice hessiana e Hessiano.  Massimi e minimi liberi. Punti critici. Estremanti e punti di sella.

5.   Approssimazioni di funzioni con polinomi. Formule di Taylor e Maclaurin  di ordine n con resto secondo Lagrange e Peano.  Serie di Taylor e Maclaurin.  Calcolo di limiti con la formula di Taylor.

6.   Numeri complessi: forma algebrica, complesso coniugato e modulo, forma trigonometrica e forma esponenziale. Potenze intere e radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra.

7.   Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Integrale definito ed area. Proprietà dell'integrale. Integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale.  Integrazione per decomposizione, per parti, per sostituzione.  Lunghezza di una curva piana. Calcolo di  aree.

8.   Equazioni differenziali. Definizione. Teoria elementare del problema ai valori iniziali. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine omogenee e non omogenee a coefficienti costanti.

9.   Curve in forma parametrica e integrali curvilinei. Funzioni di variabili reali a valori vettoriali.  Definizione di arco di curva continua, regolare e lunghezza dell’arco di curva. Integrali curvilinei di prima specie. Definizione di forma differenziale e di campo vettoriale. Integrali curvilinei di seconda specie. Insiemi connessi e semplicemente connessi. Definizione e riconoscimento di forme differenziali esatte e di campi vettoriali conservativi. Operazioni su campi scalari e vettoriali: gradiente, divergenza e rotore. Analogia tra il linguaggio delle forme differenziali e dei campi vettoriali.

 a) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Matematica Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli, 2004

 b) P.Marcellini, C.Sbordone, Esercitazioni di matematica, 1° e 2° volume, parte 1° e 2°, Liguori Editore, 1995

IN ALTERNATIVA

c)M. Borella, Analisi matematica 1 e algebra lineare, esercizi, Pearson Education, 2007

   M. Borella, Analisi matematica 2, esercizi, Pearson Education, 2008

Note

L'esame finale prevede una prova scritta ed una prova orale. Modalità di svolgimento del corso: tradizionale

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